Wilson-Loop

Der Wilson-Loop (oder Wilson Line) ist in Eichtheorien der eichinvariante Erwartungswert eines mit dem (Vierer-)Vektorpotential A_μ der Eichtheorie (der Feldvariablen der Theorie mit Werten in der zugrundeliegenden Liegruppe G) gebildeten Phasenfaktors längs eines geschlossenen Weges (englisch Loop). Er ist nach dem Nobelpreisträger Kenneth Wilson, einem der Pioniere der Gittereichtheorien, benannt.

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Formal ist er als

definiert. Dabei bezeichnet C den geschlossenen Weg und dass das Produkt der Operatoren längs des Weges geordnet ist. Tr (englisch Trace) steht für die Spur bezüglich der Eichgruppe G. Wegen der Zyklizität dieser Spur ist der Operator eichinvariant.

Ein Hauptanwendungsgebiet der Wilson-Loops sind Gittereichtheorien, wo aus ihnen Ordnungsparameter für verschiedene Phasenzustände gewonnen werden. Beispielsweise in der Quantenchromodynamik, betrachtet als Quantenfeldtheorie auf einem Gitter bei endlicher Temperatur, dienen sie zur Unterscheidung von Confinement und Deconfinement-Phasen, je nachdem ob sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension „flächenhaft“ (proportional der umschlossenen Fläche, anschaulich: viele farbelektrische confinement-Flusstuben) oder linear verhält (proportional dem Umfang des Loops, keine Beiträge von einem Fluss durch den Loop, wo sich die Beiträge im Mittel aufheben, deconfinement). Die Wilson-Loops werden dabei über Loops in der Raum-Zeit gebildet, wobei die Zeit imaginär angenommen wird, so dass sich ein Formalismus ähnlich der statistischen Mechanik ergibt (wobei die entsprechende Temperatur umgekehrt proportional zur Zeit ist und periodische Randbedingungen angenommen werden). Die Loops werden üblicherweise über eine Zeit- und eine Raumrichtung geführt, es werden aber auch rein räumliche Loops betrachtet. Im ersten Fall entsprechen die Wilson-Loops im Kontinuum-Limes des Gitters der Berechnung des Quark-Antiquark Potentials.

In der Quantenelektrodynamik ist einfach der magnetische Fluss durch den Loop C, falls dieser räumlich ist, wie sich durch Anwendung des Satzes von Stokes ergibt.

Wilson-Loops werden auch in der Stringtheorie betrachtet, wo sich auch die Möglichkeit nicht kontraktibler (zusammenziehbarer) Loops in den kompaktifizierten Extra-Dimensionen ergibt, je nach deren Topologie. In Loop-Quantengravitation von Ashtekar spielen sie eine große Rolle als fundamentale Basiszustände einer quantisierten Gravitationstheorie. Dort wird ein Paralleltransport eines Vierbeins längs eines geschlossenen Weges betrachtet. Das ist in direkter Analogie zu den Wilson Loops in den Eichtheorien, deren Beschreibung mathematisch ähnlich ist (Faserbündel mit zugehörigen den Paralleltransport beschreibenden „connections“ (Zusammenhangsform), die im Fall der Eichtheorien eben die Eichfelder sind. Seit den 1990er Jahren wird in der Quantengravitation zunehmend der Formalismus der Spin-Netzwerke verwendet.