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Zeitentwicklungsoperator

Zeitentwicklungsoperator

Der Zeitentwicklungsoperator ist ein quantenmechanischer Operator, mit dem sich die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems berechnen lässt. Der quantenmechanische Operator ist eng verwandt mit dem Propagator in der Quantenfeld- oder Vielteilchentheorie. Üblicherweise wird er als $U (t, t 0)$ geschrieben und hat folgende Eigenschaften:

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Definierende Eigenschaften:

Haupteigenschaft: $|\psi(t)\rangle = U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle$

damit folgt physikalisch:

Kontinuität: $U (t 0, t 0) = 1$
Schrödinger-Gleichung: $i \hbar\frac{{\rm d} U(t,t_0)}{{\rm d} t}=H(t) U(t,t_0)$

daraus folgende Eigenschaften:

Unitarität zum Erhalt der Gesamtwahrscheinlichkeit
Komposition: $U (t 2, t 0) = U (t 2, t 1) U (t 1, t 0)$

Der infinitesimale Zeitentwicklungs-Operator hat die Form $U(t_0+{\rm d}t,t_0)=1-\frac{i}{\hbar}H(t){\rm d}t$ . Ein nichtinfinitesimaler Zeitentwicklungs-Operator kann je nachdem, ob der Hamiltonoperator zeitabhängig ist und mit sich selbst zu unterschiedlichen Zeiten kommutiert, unterschiedliche Formen annehmen. Im einfachsten Fall ist H unabhängig von der Zeit und es gilt

$U(t;t_0):=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}(t-t_0)H\right)$ .

Ist $H = H (t)$ zeitabhängig, verallgemeinert man

$U(t;t_0):=\hat T\left[\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t^\prime)dt^\prime\right)\right].$

mit dem Zeitordnungs-Operator $\hat T$ .

Herleitung des Zeitentwicklungsoperators für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren

Durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators auf die Wellenfunktion zum Zeitpunkt $t 0 = 0$ erhält man die zeitabhängige Wellenfunktion:

$|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle$

Einsetzen der zeitabhängigen Wellenfunktion in die Schrödingergleichung:

$\mathrm{i}\hbar\cdot\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle$

$\Rightarrow \mathrm{i}\hbar\cdot\frac{\partial}{\partial t}U(t)|\psi(0)\rangle=HU(t)|\psi(0)\rangle$

Durch Umformen erhält man folgende Differentialgleichung 1. Ordnung, deren Lösung der Zeitentwicklungsoperator für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren ist.

$\frac{U'(t)}{U(t)}=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H \Rightarrow$

$U(t)=\mathrm{e}^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}$

Der Zeitenwicklungsoperator ist unitär, da der Hamiltonoperator ein selbstadjungierter Operator ist $(H^{\dagger}=H)$ .

$U(t)^+ U(t)=\mathrm{e}^{\frac{iH(t-t_0)}{\hbar}}\mathrm{e}^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}=\mathrm{e}^0=1$

Literatur

Modern Quantum Mechanics, J.J. Sakurai, Addison Wesley, 1994

Kategorie: Quantenphysik

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