Zentripetalkraft

  Die Zentripetalkraft (oft auch Zentralkraft genannt, obwohl dies eigentlich eine Klasse von Kräften beschreibt) ist die wirkende physikalische Kraft, die an einem Körper angreift, der sich auf einer krummlinigen Bahn bewegt. Insbesondere ist die Zentripetalkraft für kreisförmige Bahnen verantwortlich: Sie „zieht“ den Körper nach innen zum Kreismittelpunkt bzw. zur Drehachse und hält den Körper so auf einer Kreisbahn. Der Begriff leitet sich von petere (lateinisch für sich begeben, aufsuchen, anstreben, streben zu/nach) ab.

Der mitbewegte Beobachter nimmt die Zentrifugalkraft wahr, die auch als Fliehkraft bezeichnet wird. Diese leitet sich vom lateinischen Verb fugere (lateinisch für fliehen, flüchten vor) her. Die Zentrifugalkraft ist dabei nach außen gerichtet und im Gegensatz zur Zentripetalkraft eine Scheinkraft. Technische Anwendungen der Zentrifugalkraft sind die Zentrifuge und der Fliehkraftregler.

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Zentripetal- und Zentrifugalkraft

Zentripetal- und Zentrifugalkraft hängen eng miteinander zusammen. Dabei ist die Zentrifugalkraft eine Scheinkraft, die ein mitbewegter Beobachter wahrnimmt, der der Zentripetalkraft ausgesetzt ist. Scheinkraft bedeutet in der Physik, dass sie nur in beschleunigten Bezugssystemen auftritt, und keinen materiellen Ursprung hat. Das heißt, ein außenstehender ruhender Beobachter wird keine Zentrifugalkraft messen. Das lässt sich an einfachen Beispielen verdeutlichen: Fährt man im Auto schnell eine Kurve, so spüren die Insassen eine radial (senkrecht zur Fahrtrichtung) nach außen gerichtete Kraft auf sich wirken. Betrachtet man aber als Außenstehender einen nassen sich drehenden Fahrradreifen, so sieht man die Wassertropfen tangential (und nicht etwa radial) vom Reifen wegfliegen. Eine radial vom Mittelpunkt wegführende Kraft ist also nicht vorhanden, sondern tritt nur für mitbewegte Beobachter in Erscheinung.

Die Zentripetalkraft als Ursache der Kreisbewegung

Nach dem Trägheitsprinzipialgesetz (1. Newtonsches Axiom) haben alle Körper eine ihnen innewohnende Trägheit. Jeder Körper behält nach diesem Prinzip seine Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung bei, sofern keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken. Er bewegt sich dann geradlinig gleichförmig oder steht still.

Isaac Newton erklärt jede Geschwindigkeits- und Richtungsänderung durch eine von außen auf den Körper wirkende Kraft. Beobachtet man eine Richtungsänderung, so weist die Kraft immer in Richtung der Ablenkung.

Um einen Körper auf eine Kreisbahn zu zwingen, wird eine beständige Ablenkung in Richtung des Mittelpunktes benötigt. Diese wird als Zentripetalkraft bezeichnet. Diese Kraft ist daher die Ursache der Kreisbewegung.

Beispiele

• Die Erde bewegt sich (annähernd) auf einer Kreisbahn um die Sonne. Diese Kreisbewegung wird durch die von der Sonne auf die Erde ausgeübte Gravitationskraft verursacht. Daher ist hier die Gravitationskraft die Zentripetalkraft.

• Wenn ein Auto eine Kurve durchfährt, ist dies nur dadurch möglich, dass eine zur Innenseite der Kurve gerichtete Zentripetalkraft wirkt, nämlich die Haftreibungskraft. Fehlt diese Kraft (z. B. bei Glatteis), so bewegt sich das Auto geradlinig weiter, wird also aus der Kurve getragen.

• Bewegen sich Elektronen senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld, so werden sie durch die Lorentzkraft senkrecht zur Richtung der Bewegung und des Magnetfelds in eine Kreisbahn abgelenkt. In diesem Beispiel ist also die Lorentzkraft die Zentripetalkraft

Beobachter und Bezugssysteme

Wir betrachten als Beispiel ein Kind auf einem Karussell, dem ein Erwachsener von außen zusieht. Für dieses Beispiel vernachlässigen wir alle sonstigen Kräfte, die hier in der Realität wirken, insbesondere die Gravitationskräfte. Der Erwachsene befindet sich dann in einem Bezugssystem, in dem sich Körper geradlinig gleichförmig weiter bewegen, solange keine Kräfte auf sie wirken, also in einem Inertialsystem.

Der Erwachsene als Beobachter erklärt die Bewegungsänderungen des im Kreis fahrenden Kindes mit den auftretenden und messbaren Kräften: Über den Sitz wirkt eine Zentripetalkraft (zum Zentrum wirkende Kraft) auf das Kind, durch die es auf die Kreisbahn gezwungen wird. Ohne die Zentripetalkraft würde der Sitz sich geradlinig bewegen und tangential fortfliegen (wenn sich z. B. die Befestigung löst).

Vom Sitz auf das Kind wird die Zentripetalkraft durch Haftreibung auf der Sitzfläche (solange das Kind noch nicht „ganz nach außen gedrückt“ wurde) oder durch das Anstoßen am äußeren Rand des Sitzes übertragen. In Analogie zur Erfahrung, die das Kind mit der Gravitationskraft hat (die es zum Boden zieht, bis es dort „anstößt“), interpretiert das Kind diese Erscheinung als die Wirkung einer Fliehkraft bzw. Zentrifugalkraft. Diese tritt also nur im Bezugssystem des Kindes auf.

Vom Bezugssystem des Kindes aus ist das Kind in Ruhe, während sich die Umgebung bewegt. In diesem beschleunigten Bezugssystem gelten die Newtonschen Axiome nicht, denn es wirkt eine messbare Kraft (die Zentripetalkraft) auf das Kind, ohne dass sich sein Bewegungszustand ändert. Um dennoch auch in diesem beschleunigten Bezugssystem mit den Newtonschen Axiomen rechnen zu können, muss man eine zusätzliche Kraft einführen, die die Zentripetalkraft kompensiert. Da diese zusätzliche Kraft nicht wirklich existiert, spricht man von einer Scheinkraft. Diese scheinbare Kraft heißt Zentrifugalkraft.

Bemerkung: Um die Frage entscheiden zu können, ob nun das Kind auf dem Karussell oder die ganze Umgebung rotiert, ist die Annahme eines absoluten Raumes erforderlich. Ernst Mach hat in dem nach ihm benannten Prinzip eine moderne Erklärung geliefert, die diese Annahme unnötig macht.

Mathematische Grundlagen

Berechnung

Da die Vektoren der Zentripetal- und Zentrifugalkraft stets senkrecht auf der Bahn des Teilchens stehen, ist man vor allem bei reinen Kreisbahnen oft nur am Kraftbetrag interessiert (da die Richtung ja bekannt ist). Für einen Körper der Masse m, der sich im Abstand r mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn bewegt, ist der Betrag der Zentripetalkraft:

Bei Verwendung von SI-Einheiten (m in kg, r in Meter, v in Meter pro Sekunde) ergibt sich der Betrag in Newton. Die Zentripetalkraft ist nach innen gerichtet und wirkt stets senkrecht zur Rotationsachse. Die Zentrifugalkraft hat den gleichen Betrag und ist nach außen gerichtet.

Mit der Winkelgeschwindigkeit ω ist der Betrag der Bahngeschwindigkeit v = ωr errechenbar, das heißt, die Zentripetalkraft kann also auch so berechnet werden:

Verwendet man die Vektoren für den Abstand und für die Winkelgeschwindigkeit, so kann man die Zentripetalkraft mit dem Vektorprodukt darstellen:

(Zentripetalkraft)

Die Zentrifugalkraft ist dieselbe Kraft mit negativem Vorzeichen:

(Zentrifugalkraft)

Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung

  In den Formeln taucht die Masse m als Faktor auf. Ein doppelt so schwerer Körper erfährt daher die doppelte Kraft. Kräfte führen aber wegen Kraft = Masse · Beschleunigung zu Beschleunigungen. Die Beschleunigung auf einer bestimmten Kreisbahn ist für jeden Körper gleich, unabhängig von seiner Masse:

(Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung)

bzw. mit der Winkelgeschwindigkeit ω:

(Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung)

Eine allgemeinere gültige Definition ist:

Oder durch Umformen mit der Jacobi-Identität:

Rotierende Bezugssysteme

In rotierenden Bezugssystemen treten Zentrifugalkräfte als Scheinkräfte auf.

Beobachtung eines ruhenden Körpers aus dem rotierenden Bezugssystem

Ein im ruhenden Bezugssystem (einem Inertialsystem) kräftefreier Körper hat eine konstante Geschwindigkeit. Nimmt man an, dass er dort im Abstand r von der Achse eines rotierenden Bezugssystems ruht, so beschreibt er im rotierenden System einen Kreis mit dem Radius r. Hierzu wäre eine zur Achse gerichtete Zentripetalkraft der Größe mv² / r nötig, die der Beobachter im rotierenden System als Ursache der Kreisbewegung annimmt. Im ruhenden System ist der Körper dagegen kräftefrei, die Zentripetalkraft ist dort nicht vorhanden. De facto tritt im rotierenden System also eine Zentripetalkraft als Scheinkraft auf. Sie kommt zustande durch das Zusammenwirken zweier Scheinkräfte, nämlich der nach außen gerichteten Zentrifugalkraft (vom Betrag mv² / r) und der doppelt so großen, aber nach innen gerichteten Corioliskraft. In der Summe ergeben die beiden Kräfte gerade die erwähnte Zentripetalkraft.

Beobachtung eines mitrotierenden Körpers

Ist der Beobachter im rotierenden System im Abstand r_b von der Achse entfernt und hat selbst die Masse m_b, so spürt er die Zentrifugalkraft, die ihn nach außen zieht. Er wendet also eine Gegenkraft, die Zentripetalkraft, auf um nicht nach außen zu fliegen. Da er sich als ruhend empfindet, ist die Gesamtkraft für ihn dann Null.

Im ruhenden System ist klar, dass diese Kraft durch die kreisförmige Bewegung mit v_b verursacht wird und der Beobachter durch eine Zentripetalkraft auf seiner Kreisbahn gehalten wird.

Zusammenfassung

Beobachtung eines bewegten Körpers aus dem rotierenden Bezugssystem

Ein kräftefreier Körper bewegt sich im ruhenden Bezugssystem geradlinig. Der Abstand r zur Achse eines rotierenden Systems ändert sich also. Der rotierende Beobachter nimmt wie beim ruhenden Körper eine sich nun aber ändernde Zentripetalkraft zur Drehachse an.

Zusätzlich tritt jedoch eine Ablenkung quer zur Bewegungsrichtung auf. Diese rührt daher, dass der Körper im rotierenden System verschiedene Geschwindigkeitsbereiche durchläuft. Nach außen wird die Umlaufgeschwindigkeit immer größer. Entfernt sich der Körper von der Drehachse, so müsste er in Drehrichtung beschleunigt werden, um „mithalten“ zu können. Er bleibt also gegenüber dem Bezugssystem zurück. Der rotierende Beobachter nimmt eine Beschleunigung entgegen der Drehrichtung wahr, deren Ursache er auf eine Kraft, die Corioliskraft zurückführt. Diese ist also der Drehrichtung entgegengesetzt.

Nähert sich der Körper der Drehachse, müsste er entsprechend abgebremst werden. Hier wirkt die Corioliskraft also in Drehrichtung.