Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan beschreibt die Beziehung zwischen dem Volumen V eines Festkörpers und des auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Drucks p. Diese Zustandsgleichung ist von zwei Parametern abhängig, dem Kompressionsmodul bei einem Druck von 0 GPa $K 0$ , und der ersten Ableitung des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa, $K 0'$ . Diese sind wie folgt definiert:

$K_0 = V \left.\frac{\partial p}{\partial V}\right|_{p = 0\,\mathrm{GPa}}$

$K_0' = \left.\frac{\partial K}{\partial p}\right|_{p = 0\,\mathrm{GPa}}$

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Murnaghan ging davon aus, dass der Kompressionsmodul eines Festkörpers $K 0$ linear mit dem auf ihn wirkenden Druck zunimmt. Eine weitere wichtige Annahme ist, dass die Grösse $K 0'$ druckunabhängig ist.

K (p) = K 0 + p K 0'

Nach Integration erhält man die Zustandsgleichung nach Murnaghan

$p = \frac{K_0}{K_0'}\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{K_0'} - 1\right]$

bzw.

$\frac{V}{V_0} = \left[\frac{K_0'}{K_0}p+1\right]^{-\frac{1}{K_0'}}$

wobei $V 0$ das Volumen des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa ist.

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck p und der freien Energie F besteht:

$p = \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T$

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

$F = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\epsilon^n$

Hier sind $a n$ druckabhängige Koeffizienten, $ε n$ ist die sog. Eulersche Dehnung.

$\epsilon = \frac{1}{2}\left[1 - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}\right]$

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man dann die Zustandsgleichung nach Birch:

$p = \frac{3}{2} K_0 \left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{7}{3}} + \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]\left[1 + \frac{3}{4}\left(K_0' - 4\right)\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right]\right]$

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)

Kategorien: Festkörperphysik | Zustandsgleichung

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