Was der Satz vom Igel über Flussschläuche in Supraleitern sagt
Magnetismus und Supraleitung vertragen sich in der Regel nicht - ein Supraleiter versucht stets, ein äußeres Magnetfeld aus seinem Inneren fernzuhalten. Gelingt das nicht, weil das Magnetfeld zu stark ist, bilden sich in Hochtemperatursupraleitern so genannte Flussschläuche - dünne Kanäle, durch die das Feld den Supraleiter durchdringen kann, so dass der Rest feldfrei bleibt. Diese parallelen Schläuche ordnen sich meist in regelmäßigen Strukturen an. Nun haben zwei Physiker vom Paul Scherrer Institut und der Universität Birmingham gezeigt, dass eine solche Anordnung von der Richtung des äusseren Magnetfelds abhängen muss. Das heisst, es ist nicht möglich, dass ein solches Muster immer gleich bleibt, unabhängig davon, wie man den Supraleiter im Magnetfeld dreht. Entweder gibt es verschiedene Muster für verschiedene Richtungen des Magnetfeldes oder die Anordnung der Flussschläuche wird teilweise unregelmässig. Grundlage dieser Ergebnisse ist eine mathematische Aussage, die als „Satz vom Igel“ oder auf Englisch als „Hairy Ball Theorem“ bekannt ist.
Die Flussschläuche
Supraleiter sind vor allem dafür bekannt, dass sie elektrischen Strom ohne Widerstand leiten. Eine andere wichtige Eigenschaft dieser Materialien ist, dass sie kein Magnetfeld in ihrem Inneren vertragen - bringt man sie in ein äußeres Magnetfeld, so leiten sie es aussen herum und halten ihr Inneres feldfrei. Die Supraleiter vom Typ II - die so genannten Hochtemperatursupraleiter - haben noch eine weitere Möglichkeit, sich vor Magnetfeldern zu schützen. Sie können so genannte Flussschläuche bilden, in denen das Magnetfeld durch das Innere des Supraleiters geleitet wird. In den Kernen der Schläuche ist dann das Material nicht mehr supraleitend, aber überall außerhalb - das Material gibt gewissermassen die Supraleitung für einen Teil seines Inneren ab, um sie für den Rest zu retten. Macht man das äussere Magnetfeld stärker, entstehen mehr Flussschläuche - bei sehr starkem Magnetfeld bricht die Supraleitung ganz zusammen. Die Flussschläuche sind parallel zum äusseren Magnetfeld und ordnen sich meist in regelmäßigen Mustern. Die Anordnung der Flussschläuche lässt sich mit Neutronenexperimenten bestimmen, wie sie an der Neutronenquelle SINQ des Paul Scherrer Instituts durchgeführt werden.
Verschiedene Muster für verschiedene Richtungen
Schon vor rund 30 Jahren hatten Forscher in den USA beobachtet, dass sich die Anordnung der Flussschläuche in dem supraleitenden Schwermetall Niob ändert, wenn man es im Magnetfeld dreht. Deren Anordnung hängt also davon ab, in welche Richtung das Magnetfeld durch den Supraleiter dringt. Diese Untersuchungen wurden in den vergangenen Jahren von verschiedenen Gruppen vor allem mit Untersuchungen an Niob wieder aufgenommen und es bestätigte sich: drehte man einen Niob-Kristall im Magnetfeld, so änderte sich plötzlich das Muster der Flussschläuche oder das Muster ging gar ganz verloren, so dass die Flussschläuche unregelmäßig verteilt waren. Dass das nicht eine Besonderheit von Niob ist, sondern wegen einer fundamentalen mathematischen Gesetzmässigkeit - dem „Satz vom Igel“ - so sein muss, haben nun die beiden Forscher Mark Laver vom Paul Scherrer Institut und Edward. M. Forgan von der Universität Birmingham gezeigt.
Der Satz vom Igel
„Jeder stetig gekämmte Igel hat mindestens einen Glatzpunkt.“ ist die populäre Formulierung des mathematischen Satzes vom Igel - der offenbar von Mathematikern so benannt wurde, die mit Igeln wenig vertraut waren und nicht erkannten, dass man die Stacheln eines Igels nicht kämmen kann. Da beschreibt der englische Name „Hairy ball theorem“ den Sachverhalt treffender. Der besagt in etwa, dass wenn man eine behaarte Kugel kämmt, es immer mindestens einen Punkt geben wird, der nicht von Haaren bedeckt ist. Wobei die Haare kurz sein müssen und die Frisur stetig - die Haare an nahegelegenen Punkten sollen in ähnliche Richtungen zeigen. Eine zerraufte Kugel würde das Problem also nicht lösen. Dieser Satz hat in vielen Gebieten weitreichende Folgen - zum Beispiel folgt daraus, dass es auf der Erde stets mindestens einen Punkt geben muss, an dem kein Wind weht, wobei hier die Windrichtungen an den verschiedenen Punkten den Haaren der Kugel entsprechen.
Die Überlegung
Hinter dem Zusammenhang zwischen dem Satz und den Flussschläuchen steckt folgende mathematische Überlegung: Man kann das äußere Magnetfeld, das an den Supraleiter angelegt wird, als einen Pfeil (Vektor) darstellen, dessen Richtung der Richtung des Magnetfelds entspricht und dessen Länge die Stärke des Magnetfelds repräsentiert. In dem Experiment wird die Richtung des Magnetfelds variiert, dessen Stärke bleibt gleich - das heißt, die Vektoren sind immer gleich lang. Stellt man sich vor, dass die Vektoren für alle Richtungen am gleichen Punkt im Raum beginnen, so liegen die Enden der Vektoren alle auf einer Kugeloberfläche. Das ist die Kugeloberfläche, die man für den Satz vom Igel braucht.
Die Flussschläuche im Supraleiter sind immer parallel zum äußeren Magnetfeld. Sind sie in einem typischen regelmäßigen Muster angeordnet, kann man dieses Muster durch zwei Pfeile oder Vektoren beschreiben. Dazu wählt man einen beliebigen Flussschlauch aus und betrachtet einen Vektor, der zu diesem Schlauch senkrecht ist und bis zu einem der nächstgelegen Flussschläuche zeigt. Insgesamt gibt es mehrere solche Vektoren, aber es reichen zwei aus, die nicht zueinander parallel sind, um die gesamte Anordnung der Flussschläuche zu bestimmen. Man muss einfach an einem Flussschlauch anfangen, da einen solchen Vektor anlegen und am Ende des Vektors ist dann wieder ein Flussschlauch, an den man wieder einen Pfeil anlegen kann und so weiter. Diese Vektoren sind jetzt die Haare der haarigen Kugel - je zwei an jedem Punkt.
Nimmt man jetzt an, dass das Muster der Flussschläuche für alle Magnetfeldrichtungen gleich bleibt, stößt man auf einen Widerspruch. Denn das würde bedeuten, dass die Vektoren, die benachbarte Flussschläuche verbinden, sich für nahe gelegene Punkte nur wenig unterscheiden. Und das ist nach dem Satz vom Igel nicht möglich.
Physikalisch gesehen ist auch klar, dass die Muster nicht gleich sein müssen, da nicht alle Richtungen gleichberechtigt sind - schließlich hat der Supraleiter ein Kristallgitter, das bestimmte Richtungen auszeichnet.
Verschiedene Lösungen
Die Natur löst das Problem auf verschiedene Weise. Die eine Möglichkeit ist, dass sich das Muster sprunghaft ändert, wenn man die Richtung des Magnetfelds ändert. Eine andere Möglichkeit ist, dass die Flussschläuche unregelmäßig angeordnet sind - also kein regelmäßiges Muster bilden und damit auch keine Vektoren an der Kugeloberfläche festlegen. Bisweilen gibt es auch zwei Muster, die einander durchdringen.
“Schub ähnlich wie die Einführung der Computertomografie“
“Der Satz vom Igel macht deutlich, wie wichtig die Untersuchung der winkelabhängigen Eigenschaften von Flussschläuchen in Supraleitern ist. Für das Verständnis der Supraleitung könnte das einen ähnlichen Schub bedeuten wie die Einführung der Computertomografie in der Medizin“ schätzt Mark Laver die Bedeutung seiner Arbeit ein.
Originalveröffentlichung: Mark Laver and Edward M. Forgan; "Magnetic flux lines in type-II superconductors and the 'hairy ball' theorem"; Nature Communications, 1 (27 July 2010)
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